9.4 重积分的应用

曲面面积

二元函数形式

曲面 $S:z=z(x,y),(x,y)\in D$, 投影到 $xOy$ 平面,

$$S=\underset{D_{xy}}{\iint }\mathrm{d}S=\sqrt{1+{z_x}^2+{z_y}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

切平面 (投影形式)

设 $D_{xy}$ 是曲面 $S$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域, $\mathit{n}=(z_x,z_y,-1)$ 是曲面的切平面的一个法向量, $\mathit{k}=(0,0,1)$ 是 $z$ 方向上的单位向量, 则

$$S=\underset{D_{xy}}{\iint }\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\cos ⟨\mathit{n},\mathit{k}⟩|}$$

• 与二元函数结果一致

双参数形式

若曲面 $S$ 的方程为双参数形式

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}(u,v)\in D_{uv}$$$$A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$$

$\mathrm{d}S$ 的法向量

$$(x_u,y_u,z_u)\times (x_v,y_v,z_v)=(A,B,C)$$$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{S}{\iint }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{A^2+B^2+C^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$